Question

5．感知：如圖①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求證：DB=DC．
應(yīng)用：如圖③，四邊形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=a，求AB-AC的值（用含a的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 探究：證明△DFC≌△DEB即可．
應(yīng)用：先證明△DFC≌△DEB，再證明△ADF≌△ADE，結(jié)合BE=$\frac{1}{2}$BD即可解決問題．

解答 探究：證明：如圖②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}&{\;}\\{∠FCD=∠B}&{\;}\\{DF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DC=DB．
應(yīng)用：解：如圖③連接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}&{\;}\\{∠FCD=∠B}&{\;}\\{DC=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△RtADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=a，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a
∴AB-AC=2BE=a．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．