Question

已知⊙O為△ACD的外接圓，過(guò)C作CE⊥AC，交⊙O于G，聯(lián)結(jié)ED，∠CDE=90°，點(diǎn)B為CE上一點(diǎn)，使得CA=CB=CD，⊙O交AB于點(diǎn)F．求證：F為△CDE的內(nèi)心．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：根據(jù)連接CF、DF、BD，可得出∠CDF=∠CAF=45°，則DF平分∠CDE，再根據(jù)CD=CB，得∠CDB=∠CBD，從而得出∠CDF=∠CAF=∠CBA，即可得出△CDF≌△CBF，則CF平分∠DCE，即可得出F為△CDE的內(nèi)心．

解答：證明：連接CF、DF、BD，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA=45°
∴∠CDF=∠CAF=45°，
∴∠EDF=∠CDE-∠CDF=45°，
∴DF平分∠CDE，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CDF=∠CAF=∠CBA，
∴∠FDB=∠FBD，
∴DF=BF，
∵CD=CB，CF=CF，
在△CDF和△CBF中，

CD=CB ∠CDF=∠CBF DF=BF

，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴∠DCF=∠BCF，
∴CF平分∠DCE，
∴點(diǎn)F是△CDF內(nèi)心．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，是中考常見(jiàn)題型，失分較多．