Question

如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，∠EAF=45°，連接EF，則∠AFE的余弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：首先延長EB至H，使BH=DF，連接AH，證得△ADF≌△ABH，得出∠BAH=∠DAF，AF=AH，進(jìn)一步得出△FAE≌△HAE，得出∠H=∠AFE，設(shè)BH為x，正方形的邊長為a，在直角三角形ECF中利用勾股定理求得x（用a表示），進(jìn)一步利用勾股定理、銳角三角函數(shù)的意義在直角三角形AHB中得出答案即可．

解答：解：如圖，

延長EB至H，使BH=DF，連接AH，
∵在正方形ABCD中，
∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，
在△ADF和△ABH中，

AD=AB ∠ADF=∠ABH DF=HB

∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，

AF=AH ∠FAE=∠EAH AE=AE

∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB=BE+DF，∠H=∠AFE，
設(shè)BH為x，正方形的邊長為2a，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，
∴EC=a，EF=a+x，F(xiàn)C=2a-x
在直角三角形ECF中，
EC²+FC²=EF²
即a²+（2a-x）²=（a+x）²
解得x=

2

3

a
則AH=

BH2+AB2

=

2 10

3

a，
∴cos∠AFE=∠H=

HB

AH

=

10

10

．
故答案為：

10

10

．

點(diǎn)評：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角函數(shù)的意義等知識點(diǎn)，注意問題的轉(zhuǎn)化．