Question

如圖1，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，連接CN、DM．
（1）判斷CN、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，設(shè)CN、DM的交點(diǎn)為H，連接BH，求證：BH=BC；
（3）將△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延長MA′交DC的延長線于點(diǎn)E，如圖3，求cos∠DEM．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）CN=DM，CN⊥DM，由于點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，所以AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN，由此證明△AMD≌△DNC，然后利用全等三角形的性質(zhì)證明 CN=DM，CN⊥DM；
（2）延長DM、CB交于點(diǎn)P．由AD∥BC得到∠MPC=∠MDA，而∠A=∠MBP，MA=MB，由此證明△AMD≌△BMP，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目結(jié)論；
（3）由AB∥DC，得到∠EDM=∠AMD=∠DME，接著得到EM=ED，設(shè)AD=A′D=4k，則A′M=AM=2k，那么DE=EA′+2k．而在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，由此可以得到關(guān)于A′E用k表示的結(jié)論，然后利用三角函數(shù)的定義即可求解．

解答：證明：（1）CN=DM，CN⊥DM，
∵點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，
∴AM=DN
在△AMD和△DNC中，

AM=DN ∠A=∠CDN AD=DC

，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM．∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；                

（2）如圖，

延長DM、CB交于點(diǎn)P．
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中

∠MPC=∠MDA ∠A=∠MBP MA=MB

∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC．
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
（3）如圖，

∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
設(shè)AD=A′D=4k，則A′M=AM=2k，
∴DE=ME=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4k）²+A′E²=（EA′+2k）²，
解得A′E=3k，
∴在直角△A′DE中，cos∠DEM=

3

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，同時(shí)也利用了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)的定義，綜合性比較強(qiáng)．