Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），對(duì)于△ABC的橫長(zhǎng)、縱長(zhǎng)、縱橫比給出如下定義：
將|x₁-x₂|，|x₂-x₃|，|x₃-x₁|中的最大值，稱為△ABC的橫長(zhǎng)，記作D_x；將|y₁-y₂|，|y₂-y₃|，|y₃-y₁|中的最大值，稱為△ABC的縱長(zhǎng)，記作D_y；將$\frac{{D}_{y}}{{D}_{x}}$叫做△ABC的縱橫比，記作λ=$\frac{{D}_{y}}{{D}_{x}}$．
例如：如圖1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，3），B（2，1），C（-1，-2），則D_x=|2-（-1）|=3，D_y=|3-（-2）|=5，
所以λ=$\frac{{D}_{y}}{{D}_{X}}$=$\frac{5}{3}$．

（1）如圖2，點(diǎn)A（1，0），
①點(diǎn)B（2，1），E（-1，2），
則△AOB的縱橫比λ₁=$\frac{1}{2}$
△AOE的縱橫比λ₂=1；
②點(diǎn)F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
③點(diǎn)M是雙曲線y=$\frac{1}{2x}$上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△AOM的縱橫比為1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）如圖3，點(diǎn)A（1，0），⊙P以P（0，$\sqrt{3}$）為圓心，1為半徑，點(diǎn)N是⊙P上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出△AON的縱橫比λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)縱橫比的定義計(jì)算即可；
②點(diǎn)F在第四象限的角平分線上即可；
③分三種情形討論即可．
（2）如圖3中，當(dāng)N（0，1+$\sqrt{3}$）時(shí)，可得△AON的縱橫比λ的最大值=$\frac{1+\sqrt{3}}{1}$=1+$\sqrt{3}$，當(dāng)AN′與⊙P相切時(shí)，切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得△AON的縱橫比λ的最小值；

解答 解：（1）

由題意△AOB的縱橫比λ₁=$\frac{1}{2}$，△AOE的縱橫比λ₂=$\frac{2}{2}$=1，
故答案為$\frac{1}{2}$，1．

②由點(diǎn)F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，則F（1，-1）（在第四象限的角平分線上即可）．

③如圖設(shè)M（x_M，y_M）．

a、當(dāng)0＜x_M≤1時(shí)，點(diǎn)M在y=$\frac{1}{2x}$上，則y_M＞0，
此時(shí)△AOM的橫長(zhǎng)D_x=1，△AOM的縱長(zhǎng)為D_y=y_M，
∵△AOM的縱橫比為1，
∴D_y=1，
∴y_M=1或-1（舍棄），
∴x_M=$\frac{1}{2}$，
∴M（$\frac{1}{2}$，1）．

b、當(dāng)x_M＞1時(shí)，點(diǎn)M在y=$\frac{1}{2x}$上，則y_M＞0，
此時(shí)△AOM的橫長(zhǎng)D_x=x_M，△AOM的縱長(zhǎng)為D_y=y_M，
∵△AOM的縱橫比為1，
∴D_y=D_x，
∴x_M=y_M
∴y_M=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍棄），

c、當(dāng)x_M＜0時(shí)，點(diǎn)M在y=$\frac{1}{2x}$上，則y_M＜0，
此時(shí)△AOM的橫長(zhǎng)D_x=1-x_M，△AOM的縱長(zhǎng)為D_y=-y_M，
∵△AOM的縱橫比為1，
∴1-x_M=-y_M，
∴x_M=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$（舍棄），
∴y_M=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴M′（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$），
綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，1）或（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

（2）如圖3中，當(dāng)N（0，1+$\sqrt{3}$）時(shí)，可得△AON的縱橫比λ的最大值=$\frac{1+\sqrt{3}}{1}$=1+$\sqrt{3}$，
當(dāng)AN′與⊙P相切時(shí)，切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得△AON的縱橫比λ的最小值，
∵OP=$\sqrt{3}$，OA=1，
∴PA=2．AN′=$\sqrt{P{A}^{2}-PN{′}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠APN′=$\sqrt{3}$，
∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．
∴∠HPN′=30°，
∴N′H=$\frac{1}{2}$，PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此時(shí)△AON的縱橫比λ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ≤1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、三角形的橫長(zhǎng)、縱長(zhǎng)、縱橫比λ的定義、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考創(chuàng)新題目．