Question

3．已知拋物線y=a（x+1）²+k交x軸于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），AB=4，頂點E在x軸上方，tan∠EAB=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，P、Q為對稱軸左側(cè)拋物線上的兩點（點P在點Q上方），直線PB、QB分別交對稱軸于C、D兩點，連PQ交x軸于M，四邊形ACBD為菱形．
①若CD=AB，求S_△PBQ；
②探究∠PMB的大小是否改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意拋物線的對稱軸x=-1，頂點E坐標(biāo)（-1，4），由AB=4，可得A（-3，0），B（1，0），拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4，把B（1，0）代入y=a（x+1）²+4求出a即可；
（2）①首先證明四邊形ABCD是正方形，求出直線BC的解析式，利用方程組求出點P坐標(biāo)，同法求出點Q坐標(biāo)即可解決問題；
③結(jié)論：∠PMB的大小不變．作QH⊥y軸于H，PN⊥QH于N．由四邊形ABCD是菱形，推出直線BC與直線BD關(guān)于AB對稱，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，0）代入得到b=-k，推出直線BC的解析式為y=kx-k，則直線BD的解析式為y=-kx+k，利用方程組求出點P、Q的坐標(biāo)，求出tan∠PQN的值即可解決問題；

解答 解：（1）由題意拋物線的對稱軸x=-1，頂點E坐標(biāo)（-1，4），
∵AB=4，
∴A（-3，0），B（1，0），
∴拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4，
把B（1，0）代入y=a（x+1）²+4得到a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）①∵四邊形ABCD是菱形，AB=CD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ABD=45°，
易知C（（-1，2），D（-1，-2），
∴直線BC的解析式為y=-x+1，直線BD的解析式為Y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴P（-2，3），PB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴Q（-4，-5），BQ=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•PB•BQ=$\frac{1}{2}$$•3\sqrt{2}$•5$\sqrt{2}$=15．

②結(jié)論：∠PMB的大小不變．
理由：作QH⊥y軸于H，PN⊥QH于N．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴直線BC與直線BD關(guān)于AB對稱，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，0）代入得到b=-k，
∴直線BC的解析式為y=kx-k，則直線BD的解析式為y=-kx+k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-b}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-k}\\{y=-{k}^{2}-4k}\end{array}\right.$，
∴P（-3-k，-k²-4k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-kx+k}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=k-3}\\{y=-{k}^{2}+4k}\end{array}\right.$，
∴Q（k-3，-k²+4k）$\frac{（-{k}^{2}-4k）-（-{k}^{2}+4k）}{（-3-k）-（k-3）}$，
∴tan∠PQN=$\frac{（-{k}^{2}-4k）-（-{k}^{2}+4k）}{（-3-k）-（k-3）}$=4，
∴∠PQN是定值，
∵MB∥QN，
∴∠PMB=∠PQN，
∴∠PMB是定值．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、兩點間距離公式、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程組確定兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．