Question

11．如圖，二次函數(shù)y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知點A（-1，0），點C（0，-2）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；
（3）若點M是線段BC下方的拋物線上的一個動點，求面積的最大值以及此時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點A、點C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、c的二元一次方程組，求得a、c的值，從而可求得拋物線的解析式；
（2）先求得點B的坐標(biāo)，然后求得AB、AC、BC的長，依據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ABC為直角三角形，△ABC的外心為AB的中，從而可求得為外接圓圓心的坐標(biāo)；
（3）過點M作ME⊥AB，垂足為E，ME交BC于點D．先求得直線BC的解析式，設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）．則點D的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}$a-2），用含a的式子表示出△BCM的面積，依據(jù)配方法可求得△CBM面積的最大值以及此時點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將A（-1，0）、點C（0，-2）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{3}{2}+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得；$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）令y=0得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得：x₁=-1，x₂=4．
∴B（4，0）．
∴AB=5．
∴AB²=25．
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=AO²+OC²=5，在Rt△OBC中，由勾股定理得；CB²=OC²+OB²=20．
∴AB²=AC²+BC²．
∴△ABC為直角三角形．
∴△ABC的外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為．
∴△ABC的外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）．
（3）如圖所示：過點M作ME⊥AB，垂足為E，ME交BC于點D．

設(shè)BC的解析式為y=kx+b．
∵將B（4，0），C（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}x-2$．
設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）．則點D的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}$a-2）．
∵M(jìn)D=EM-ED，
∴MD=$\frac{1}{2}$a-2-（$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴S_△CBM=$\frac{1}{2}$OB•DM=-a²+4a=-（a-2）²+4．
∴當(dāng)a=2時，△CBM的面積有最大值，△CBM的面積的最大值為4．
∵將a=2代入y=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2得：y=-3，
∴點M的坐標(biāo)為（2，-3）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、勾股定理和勾股定理的逆定理、配方法求二次函數(shù)的最值，列出△BCM的面積與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．