Question

已知：直角梯形ABCD中，DC⊥BC，AD∥BC，AD=AB=5，BC=8．動點P以1個單位/秒的速度從C開始，沿C-D-A方向運動，到達點A時停止．
（1）設(shè)△BCP的面積為y，運動的時間為t秒．求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的范圍；
（2）連接AP，當(dāng)點P在CD上時，求在第幾秒時，△ABP的面積與△BCP的面積相等？
（3）若在點P從點C出發(fā)的同時，另一動點M從A開始沿著A-D-C方向運動，運動速度為2個單位/秒．求當(dāng)P、M相遇時，△BCP的面積？

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)勾股定理可得出AE的長，進而得出CD的長，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）先求出梯形ABCD的面積，設(shè)在第x秒時，△ABP的面積與△BCP的面積相等，即S_△BCP=S_梯形ABC-S_△BCP-S_△ADP，由此可得出結(jié)論；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒P、M相遇，求出t的值，進而得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過點A作AE⊥BC于點E，
∵DC⊥BC，AD∥BC，AD=AB=5，BC=8，
∴BE=3，
∴AE=

AB2-BE2

=

52-32

=4，
∴CD=AE=4，
∴當(dāng)點P在CD上時，y=

1

2

BC•t=4t（0＜t≤4）；
當(dāng)點P在AD上時，y=

1

2

BC•CD=

1

2

×8×4=16（4＜t≤9）．
故

y=4t(0＜t≤4) y=16(4＜t≤9)

；

（2）如圖2，∵直角梯形ABCD中，DC⊥BC，AD∥BC，AD=AB=5，BC=8，CD=4，
∴S_梯形ABC=

1

2

（AD+BC）•CD=

1

2

（5+8）×4=26，
設(shè)在第x秒時，△ABP的面積與△BCP的面積相等，即S_△BCP=S_梯形ABC-S_△BCP-S_△ADP，
∴

1

2

BC•x=26-

1

2

BC•x-

1

2

AD•（4-x），即

1

2

×8x=26-

1

2

×8x-

1

2

×5×（4-x），解得x=

32

11

（秒）．
答：在第

32

11

秒時，△ABP的面積與△BCP的面積相等；

（3）設(shè)經(jīng)過t秒P、M相遇，
∵點P從點C出發(fā)的同時，另一動點M從A開始沿著A-D-C方向運動，運動速度為2個單位/秒，AD=5，CD=4，
∴3t=AD+CD=5+4=9，解得t=3（秒），
∴S_△BCP=

1

2

BC×3=

1

2

×8×3=12．
答：△BCP的面積為12．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到梯形及直角三角形的面積公式，難度適中．