Question

4．如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線y=-x²+bx+c與直線BC交于點D（3，-4）
（1）求直線BD和拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）在拋物線對稱軸上求一點P的坐標(biāo)，使△ABP的周長最�。�
（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線y=2x+2可以求出A，B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式；
（2）直接得出A點對應(yīng)點進而利用對稱點的性質(zhì)得出P點位置進而得出答案；
（3）如圖①，②，由（1）的解析式設(shè)M（a，-a²+a+2），當(dāng)△MON∽△BCO或△MON∽△CBO時，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵y=2x+2，
∴當(dāng)x=0時，y=2，
∴B（0，2）．
當(dāng)y=0時，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵拋物線y=-x²+bx+c過點B（0，2），D（3，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{-4=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+x+2；
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=-2x+2；

（2）對稱軸為：x=$\frac{1}{2}$，點A（-1，0）關(guān)于對稱軸的對稱點為：A'（2，0），
則直線A'B的解析式為：y=-x+2，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{3}{2}$，此時P點使△ABP的周長最��；
直線A'B與直線x=$\frac{1}{2}$的交點P的坐標(biāo)是：（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）存在，①如圖①，當(dāng)△MON∽△BCO時，
則$\frac{ON}{CO}$=$\frac{MN}{BO}$，即$\frac{ON}{1}$=$\frac{MN}{2}$，
故MN=2ON．設(shè)ON=a，則M（a，2a），
則-a²+a+2=2a，
解得：a₁=-2（不合題意，舍去），a₂=1，
∴M（1，2）；
②如圖②，當(dāng)△MON∽△CBO時，$\frac{ON}{BO}$=$\frac{MN}{CO}$，即$\frac{ON}{2}$=$\frac{MN}{1}$，
故MN=$\frac{1}{2}$ON．設(shè)ON=n，則M（n，$\frac{n}{2}$），
則-n²+n+2=$\frac{n}{2}$，
解得n₁=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（不合題意，舍去），n₂=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，
故M（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．
綜上所述：存在這樣的點M（1，2）或（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式的運用，相似三角形的性質(zhì)的運用等知識，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．