Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=k₁x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于點A（-3，2）和點B（1，m），連接BO并延長與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于點C．
（1）求一次函數(shù)y=k₁x+b和反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的表達式；
（2）是否在雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上存在一點D，使得以點A、B、D、C為頂點的四邊形成為平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標，并求出該平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A坐標代入反比例解析式求出k₂的值，確定出反比例解析式，將B坐標代入反比例解析式求m的值，確定出B坐標，將A與B坐標代入一次函數(shù)解析式求出k₁與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)中心對稱求得C的坐標，然后根據(jù)平移的性質(zhì)和A、C、B的坐標即可求得D的坐標，作AM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，設(shè)直線AB交y軸于E，則E（0，-4），根據(jù)S_△AOB=S_△AOE+S_△BOE求得△AOB的面積，進而即可求得平行四邊形的面積．

解答 解：（1）將A（-3，2）代入反比例解析式得：k₂=-6，
則反比例解析式為y=-$\frac{6}{x}$；
將B（1，m）代入反比例解析式得：m=-6，即B（1，-6），
將A與B坐標代入y=k₁x+b中，得：$\left\{\begin{array}{l}{-3{k}_{1}+b=2}\\{{k}_{1}+b=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
則一次函數(shù)解析式為y=-2x-4；
（2）存在，
∵B、C關(guān)于原點對稱，B（1，-6），
∴C（-1，6），
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴設(shè)直線CD的解析式為y=-2x+n，
代入C（-1，6）得，6=2+n，
解得n=4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴D（3，-2）；
作AM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，設(shè)直線AB交y軸于E，則E（0，-4），
∴OE=4，
∴S_△AOB=S_△AOE+S_△BOE=$\frac{1}{2}$OE•AM+$\frac{1}{2}$OE•BN
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×1=8，
∴S_{平行四邊形}=4S=4×8=32．

點評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．