Question

19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，AD=BC=2，E是BD中點，點F在線段CD上，∠DFE=45°，DF=3，求EF、AB的長．

Answer 1

分析 過點E作EM⊥CD于點M，由三角形的中位線結(jié)合BC的長度可得出EM的長度，結(jié)合∠DFE=45°即可得出△MEF為等腰直角三角形，由此即可得出MF、EF的長度，結(jié)合CF=3以及線段間的關(guān)系即可得出CD的長度，再根據(jù)AD=2利用勾股定理即可求出AB的長度．

解答 解：過點E作EM⊥CD于點M，如圖所示．
∵∠C=90°，點E為線段BD的中點，
∴EM∥BC，點M為線段CD的中點，EM為△DBC的中位線．
∵BC=2，
∴ME=$\frac{1}{2}$BC=1．
∵∠DFE=45°，
∴△MEF為等腰直角三角形，
∴MF=EM=1，EF=$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$．
∵DF=3，
∴DM=DF-MF=2，CD=2DM=4．
∵AD=BC=2，
∴AC=AD+CD=6．
在Rt△ABC中，BC=2，AC=6，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了勾股定理、三角形的中位線以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線求出EF、CD的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，選用合適的輔助線是關(guān)鍵．