Question

3．如圖，在矩形OABC中，點A在x軸的正半軸，點C在y軸的正半軸．拋物線y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4經(jīng)過點B，C，連接OB，D是OB上的動點，過D作DE∥OA交拋物線于點E（在對稱軸右側），過E作EF⊥OB于F，以ED，EF為鄰邊構造?DEFG，則?DEFG周長的最大值為$\frac{243}{40}$．

Answer 1

分析 將x=0代入二次函數(shù)解析式求出點C的坐標，根據(jù)對稱性即可找出點B的坐標，由點O、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線OB的解析式，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求出OB的長度，由DE∥OA即可得出∠BOA=∠EDF，進而得出EF=$\frac{4}{5}$DE，利用平行四邊形的周長公式可求出?DEFG周長=$\frac{18}{5}$DE，設點D的坐標為（$\frac{3}{4}$m，m），則點E的坐標為（$\frac{3}{4}$$\sqrt{m}$+$\frac{3}{2}$，m），再利用兩點間的距離公式結合配方法即可求出DE的最大值，從而得出?DEFG周長的最大值．

解答 解：當x=0時，y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4=4，
∴點C（0，4）；
∵y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4=4$（\frac{2}{3}x-1）^{2}$，
∴拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
∵四邊形OABC為矩形，
∴B（3，4）．
設直線OB的解析式為y=kx，
將B（3，4）代入y=kx中，
4=3k，解得：k=$\frac{4}{3}$，
∴直線OB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x．
在Rt△OAB中，OA=3，AB=4，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=5．
∵DE∥OA，
∴∠BOA=∠EDF，
∵EF⊥OB，
∴$\frac{EF}{DE}=\frac{AB}{OB}$
∴EF=$\frac{4}{5}$DE，
∴?DEFG周長=2（EF+DE）=$\frac{18}{5}$DE．
設點D的坐標為（$\frac{3}{4}$m，m），則點E的坐標為（$\frac{3}{4}$$\sqrt{m}$+$\frac{3}{2}$，m），
∴DE=$\frac{3}{4}$$\sqrt{m}$+$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{4}$m=-$\frac{3}{4}$（m-$\sqrt{m}$）+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$$（\sqrt{m}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{27}{16}$，
∴當m=$\frac{1}{4}$時，DE取最大值$\frac{27}{16}$，此時?DEFG周長取最大值$\frac{243}{40}$．
故答案為$\frac{243}{40}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出?DEFG周長=$\frac{18}{5}$DE是解題的關鍵．