Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B、C兩點(diǎn)且B在C左邊．設(shè)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的點(diǎn)（不與A、C重合），過(guò)P作PQ∥y軸交線段AC于Q，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，連接PA、PC．
（1）用x的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)；
（2）設(shè)△PAC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，根據(jù)題意若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則P（x，$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4），Q（x，-$\frac{4}{5}$x+4），進(jìn)而即可求得線段PD；
（2）S=S_△APQ+S_△PQC=$\frac{1}{2}$PQ•OC即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B、C兩點(diǎn)且B在C左邊．
∴令x=0，y=4，令y=0，則$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4=0，解得x₁=1，x₂=5，
∴A（0，4），B（1，0），C（5，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{5}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{4}{5}$x+4，
∵PQ∥y軸交線段AC于Q，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
∴P（x，$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4），Q（x，-$\frac{4}{5}$x+4），
∴PQ=（-$\frac{4}{5}$x+4）-（$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4）=-$\frac{4}{5}$x²+4x；
（2）∵S=S_△APQ+S_△PQC=$\frac{1}{2}$PQ•OC，
∴S=$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$x²+4x）×5=-2x²+10x（0＜x＜5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和拋物線的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求直線的解析式和拋物線的解析式以及三角形面積等，求得P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．