Question

11．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)C（3，0），交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B（-1，0），∠ACB=45°．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)D為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，且AD=2CD，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交拋物線(xiàn)一點(diǎn)E，點(diǎn)P為x軸上方拋物線(xiàn)的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PDE的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的范圍；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用點(diǎn)B，C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析即可；
（2）由AD=2CD，DE∥y軸，得出D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）假設(shè)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求出直線(xiàn)AC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)F坐標(biāo)，整理出關(guān)于h的方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

解答 解：（1）把B（-1，0），C（3，0），代入函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
故拋物線(xiàn)解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)DE與x軸交于點(diǎn)H，
∵DE∥y軸，AD=2CD，
∴$\frac{DH}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DH=CH=1，
∴D（2，1），
∵點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上，
∴E（2，3），
∵點(diǎn)P為x軸上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴-1＜t＜3，
∵△PDE的面積為S，
∴$\frac{1}{2}$DE•|t-2|=S，
∴S=|t-2|（-1＜t＜3），
即當(dāng)-1＜t＜2時(shí)，S=2-t，
當(dāng)2＜t＜3時(shí)，S=t-2；

（3）如圖所示：設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=-x+3，
假設(shè)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（h，-h²+2h+3），
∵PF∥DE，
∴PF=DE，
∴F（h，-h+3），
∴-h²+2h+3-（-h+3）=2，
∴h²-3h+2=0，
∴h₁=1，h₂=2，
∴拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，要注意當(dāng)情況不確定的情況下需要分類(lèi)討論，以免漏解．