Question

3．正方形ABCD中，對角線交于O點，AE⊥BE，BE交OA于點P，連接OE，求∠OEP的度數(shù)．

Answer 1

分析 延長AE交BD于點F，連接PF；先證明△ABP≌△DAF，得出AP=DP，OP=OF，求出∠OFP=45°，再證E、F、O、P四點共圓，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可得出結(jié)論．

解答 解：延長AE交BD于點F，連接PF，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，OA=OD，∠BAD=∠ADC=90°，AC⊥BD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠BAP=∠ADF=45°，∠2+∠BAE=90°，∠AOD=90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠BAE=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABP和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AB=DA}&{\;}\\{∠BAP=∠ADF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DAF（ASA），
∴AP=DF，
∴OP=OF，
∴∠OFP=45°，
∵∠BEF=∠AOD=90°，PF為公共斜邊，
∴E、F、O、P四點共圓，
∴∠OEP=∠OFP=45°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及四點共圓的知識；本題難度較大，綜合性強，特別是通過四點共圓，利用同弧所對的圓周角相等得出結(jié)果．