Question

14．如圖，一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$的圖象相交于點(diǎn)A（-1，4），C（m，-2），AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B．
（1）求函數(shù)y₁=ax+b與y₂=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y₂＞y₁；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求得反比例函數(shù)的解析式，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)是的解析式即可；
（2）根據(jù)求得的點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)結(jié)合函數(shù)的圖象確定x的取值范圍即可；
（3）分以O(shè)A為底邊、以O(shè)A為腰且以A為頂點(diǎn)和以O(shè)A為腰且以O(shè)為頂點(diǎn)三種情況確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-1，4）代入y₂=$\frac{k}{x}$中，得4=$\frac{k}{-1}$
解得k=-4，即雙曲線解析式為y₂=-$\frac{4}{x}$，
把點(diǎn)C（m，-2）代入y₂=-$\frac{4}{x}$中，得-2=-$\frac{4}{m}$
解得，m=2，
∴C（2，-2），
∵一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象經(jīng)過A、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=4}\\{2a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直線解析式為y₁=-2x+2；
（2）∵一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k}{x}$的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（-1，4）、（2，-2）．
∴當(dāng)y₂＞y₁時(shí)，-1＜x＜0或x＞2．
（3）如圖，∵點(diǎn)A（-1，4），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
當(dāng)以AO為底邊時(shí)，由△P₁DO∽△ABO，
∴$\frac{{P}_{1}O}{AO}$=$\frac{OD}{OB}$，
即：$\frac{{P}_{1}O}{\sqrt{17}}$=$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{1}$，
解得：P₁O=$\frac{17}{2}$，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-$\frac{17}{2}$，0）；
當(dāng)以AO為腰以A為頂點(diǎn)時(shí)，
P₂B=BO=1，
此時(shí)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-2，0）；
當(dāng)以AO為腰以O(shè)為頂點(diǎn)時(shí)，
P₃O=P₄O=OA=$\sqrt{17}$，
此時(shí)點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（-$\sqrt{17}$，0），點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為（$\sqrt{17}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中涉及到了待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式及分類討論的數(shù)學(xué)思想，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．