Question

14．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF，取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．
（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；
（2）請(qǐng)判斷線段MD與MN的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則第（2）題中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識(shí)證明出CE=CF，繼而證明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，證明出△AEF是等腰三角形；
（2）依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)可得到MN與MD的數(shù)量關(guān)系，然后三角形的外角的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)證明∠DMF=∠BAE+∠DAF，從而可證明∠DMN=∠DAB=90°；
（3）連接AE，交MD于點(diǎn)G，標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出MN∥AE，MN=${\frac{1}{2}}_{\;}$AE，再由（1）的結(jié)論以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到∠DMN=∠DGE=90°．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°．
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CE=CF．
∴BC-CE=CD-CF，即BE=DF．
∵在△ABE和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．
∴△AEF是等腰三角形．
（2）DM=MN，DM⊥MN．
理由：∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，
∴AF=2DM．
∵M(jìn)N是△AEF的中位線，
∴AE=2MN．
∵AE=AF，
∴DM=MN．
∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，
∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，
∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
∴∠DMN=∠BAD=90°，
∴DM⊥MN．
（3）成立．
理由：連接AE，交MD于點(diǎn)G．

∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，
∴MN∥AE，MN=$\frac{1}{2}$AE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°．
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴CE=CF．
∴BC+CE=CD+CF，即BE=DF．
∵在△ABE和△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF，∠1=∠2．
∵在Rt△ADF中，點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF．
∴DM=MN．
∵AB∥DF，AD∥BE，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∴∠3=∠4．
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠5．
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°．
∵M(jìn)N∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°．
∴DM⊥MN．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定，證得∠DMN=90°是解題的關(guān)鍵．