Question

6．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點D在AB上，AD=AC，BE⊥直線CD于E
（1）求∠BCD的度數；
（2）求證：CD=2BE；
（3）若點O是AB的中點，請直接寫出三條線段CB、BD、CO之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質得出∠A=45°，利用等腰三角形進行解答即可；
（2）作AH⊥CD于H，根據全等三角形的判定和性質解答即可；
（3）過D作DH⊥BC于點H，利用等腰直角三角形的性質證得Rt△COD≌Rt△CHD，得出CH=CO，進一步利用性質求得BC=CH+BH=CO+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD即可．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=67.5°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=22.5°；
（2）作AH⊥CD于H，如圖：

∵BE⊥直線CD于E，AC=AD，
∴CD=2CH，∠BEC=∠AHC=90°，
∵∠BCE+∠DCA=∠HAC+∠DCA=90°，
∴∠BCE=∠CAH，
在△CBE與△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠CAH}\\{∠BEC=∠AHC=90°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△ACH（AAS），
∴CH=BE，
即CD=2CH=2BE；
（3）如圖，

過D作DH⊥BC于點H，
由（1）可知∠BCD=22.5°，
∵O是AB的中點，
∴∠BCO=45°，
∴∠DCO=∠HCD=22.5°，
∴DO=DH，
在Rt△COD和Rt△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DH}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△COD≌Rt△CHD，
∴CH=CO，
∴∠DBH=45°，∠DHB=90°，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴BC=CH+BH=CO+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD．

點評 此題考查全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，利用等腰三角形的角度與邊之間的關系是解決問題的關鍵．