Question

1．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，AD=2AB，直線AB的解析式為y=-2x+4，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)D，與BC邊相交于點(diǎn)E．
（1）填空：k=40
（2）連接AE、DE，試求△ADE的面積；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)及此時(shí)△PCD周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，首先求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出△AOB∽△DHA，即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)求出k即可；
（2）利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AD的長(zhǎng)，再利用$\frac{1}{2}$S_矩形BACD=S_△AED求出答案；
（3）利用軸對(duì)稱求最短路線得出D點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，進(jìn)而得出CD′的解析式，進(jìn)而得出CD′的長(zhǎng)，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵直線AB的解析式為y=-2x+4，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4，則OB=4，B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=2，則OA=2，A點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0）；
∵∠OAB+∠DAH=90°，∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠BOA=∠AHD，
∴△AOB∽△DHA，
∴$\frac{AO}{DH}$=$\frac{BO}{AH}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{DH}$=$\frac{4}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
解得：DH=4，AH=8，
∴D（10，4），
則k=10×4=40；
故答案為：40；

（2）由（1）得：AO=2，OB=4，則AB=2$\sqrt{5}$，
∵AD=2AB，
∴AD=4$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}$S_矩形BACD=S_△AED=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$=20；

（3）如圖所示：過點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，作D點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，交x軸于點(diǎn)P，連接DP，
∵∠NBC+∠NCB=90°，
∠NBC+∠OBA=90°，
∴∠NCB=∠OBA，
又∵∠CNB=∠BOA=90°，
∴△CNB∽△BOA，
∴$\frac{CN}{BO}$=$\frac{BN}{AO}$=2，
∴CN=8，BN=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，8），
∵D（10，4），
∴D′（10，-4），
∴CD′=$\sqrt{1{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{37}$，
設(shè)直線CD′的解析式為：y=ax+d
則$\left\{\begin{array}{l}{10a+d=-4}\\{8a+d=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{d=56}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=-6x+56，
當(dāng)y=0則x=$\frac{28}{3}$，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{28}{3}$，0），
故此時(shí)△PCD周長(zhǎng)的最小值為：CD′+DC=2$\sqrt{37}$+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出D，C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．