Question

如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC=8，BD=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是（　�。�

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=

1

2

AC，BO=

1

2

BD，利用勾股定理列式求出AB，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，連接E′F與AC的交點(diǎn)即為所求的PE+PF最小值的點(diǎn)P，再根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性可知E′為AD的中點(diǎn)，E′F的長等于菱形的邊長，從而得解．

解答：解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=

1

2

AC=

1

2

×8=4，BO=

1

2

BD=

1

2

×6=3，
∴AB²=3²+4²=25，
∴AB=5，
作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，
連接E′F與AC的交點(diǎn)即為所求的PE+PF最小值的點(diǎn)P，PE+PF=E′F，
由菱形的軸對(duì)稱性可知E′為AD的中點(diǎn)，
所以，E′F=AB=5，
即PE+PF的最小值為5．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握菱形的性質(zhì)以及最短路線的確定方法是解題的關(guān)鍵．