Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（8，1），B（0，-3），反比例函數(shù)
y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，動(dòng)直線x=t（t＞0）與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)M，與直線AB交于點(diǎn)N．
（1）求k的值；       
（2）若△BMN面積為$\frac{25}{4}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n（m≠0），根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積結(jié)合△BMN面積為$\frac{25}{4}$即可得出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，1），
∴k=8×1=8．
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n（m≠0），
將A（8，1）、B（0，-3）代入y=mx+n中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{1=8m+n}\\{-3=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3．
當(dāng)x=t時(shí)，y=$\frac{8}{t}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，$\frac{8}{t}$）；
當(dāng)x=t時(shí)，y=$\frac{1}{2}$t-3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t-3）．
∴MN=|$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3|，S_△BMN=$\frac{1}{2}$t•MN=|$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{3}{2}$t-4|=$\frac{25}{4}$，
解得：t₁=3，t₂=5$\sqrt{2}$+3，t₃=-5$\sqrt{2}$+3（舍去）．
∴當(dāng)t的值為3或5$\sqrt{2}$+3時(shí)，△BMN面積為$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．