Question

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BE=1，求

AE

AF

的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，可證明OD∥AB，可得OD⊥DE，可得出結(jié)論；
（2）連接AD，在Rt△ADB中可求得DE，再根據(jù)OD∥AB，利用平行線分線段成比例求得FD，進一步可求得

AE

AF

．

解答：（1）證明：
如圖1，連接OD，

∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接AD，

∵AC為直徑，
∴AD⊥BC，
∵半徑為2，BE=1，
∴OD=2，AB=AC=4，AE=AB-BE=3，
∵DE⊥AB，
∴DE²=AE•BE=3，解得DE=

3

，
又OD∥AB，
∴

DF

EF

=

OD

AE

，即

DF

DF+DE

=

OD

AE

，
∴

DF

DF+ 3

=

2

3

，解得DF=2

3

，
在Rt△ODF中，可求得OF=4，
又

OF

AF

=

OD

AE

，
∴

AE

AF

=

OD

OF

=

2

4

=

1

2

．

點評：本題主要考查切線的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例，掌握切線的證明方法，即有切點時連接圓心和切點證明垂直是解題的關(guān)鍵，注意等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的應用．