Question

將拋物線c₁：沿x軸翻折，得到拋物線c₂，如圖所示．

（1）請直接寫出拋物線c₂的表達式；

（2）現(xiàn)將拋物線c₁向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c₂向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．

①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；

②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①2，1/2，②是矩形，m＝1

【解析】（1）拋物線c₂的表達式為．

（2）拋物線c₁：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為．

拋物線c₂：與x軸的兩個交點也為(－1，0)、(1，0)，頂點為．

拋物線c₁向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2．

拋物線c₂向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標(biāo)為，與x軸的兩個交點為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：

情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．

情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．

 

 

圖2                         圖3                      圖4

 

②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM²＝m²＋3，所以4(1＋m)²＝4(m²＋3)．解得m＝1（如圖4）．

（1）根據(jù)拋物線的對稱性解出

（2）求出拋物線c₁向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標(biāo)和與x軸的兩個交點，以及AB長；求出拋物線c₂向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標(biāo)和與x軸的兩個交點，以及AE長；①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：B在D的左側(cè)，B在D的右側(cè)，分別解得m，②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM²＝m²＋3，所以4(1＋m)²＝4(m²＋3)．解得m＝1