Question

在平面直角坐標(biāo)系中，將直線l：沿x軸翻折，得到一條新直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將拋物線C₁：沿x軸平移，得到一條新拋物線C₂與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若線段DF∥x軸，求拋物線C₂的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)F在y軸右側(cè)，過(guò)F作FH⊥x軸于點(diǎn)G，與直線l交于點(diǎn)H，一條直線m（m不過(guò)△AFH的頂點(diǎn)）與AF交于點(diǎn)M，與FH交于點(diǎn)N，如果直線m既平分△AFH的面積，又平分△AFH的周長(zhǎng)，求直線m的解析式．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將直線與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（-2，0），（0，），
沿x軸翻折，則直線、直線AB與x軸交于同一點(diǎn)（-2，0），
∴A（-2，0），
與y軸的交點(diǎn)（0，）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴B（0，），
∴，
解得，，
∴直線AB的解析式為；

（2）設(shè)平移后的拋物線C₂的頂點(diǎn)為P（h，0），

則拋物線C₂解析式為：=，
∴D（0，），
∵DF∥x軸，
∴點(diǎn)F（2h，），
又點(diǎn)F在直線AB上，
∴，
解得h₁=3，，
∴拋物線C₂的解析式為或；

（3）過(guò)M作MT⊥FH于T，MP交FH于N

∴Rt△MTF∽R(shí)t△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
設(shè)FT=3k，TM=4k，F(xiàn)M=5k．
則FN=-FM=16-5k，
∴．
∵=48，
又．
∴．
解得或k=2（舍去）．
∴FM=6，F(xiàn)T=，MT=，GN=4，TG=．
∴M（，）、N（6，-4）．
∴直線MN的解析式為：．
分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將直線與x軸、y軸交點(diǎn)求出，沿x軸翻折，則直線、直線AB交同一A點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)（0，）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，求出K和b；
（2）設(shè)平移后的拋物線C₂的頂點(diǎn)為P（h，0），則拋物線C₂解析式為：，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由DF∥x軸，又點(diǎn)F在直線AB上，解得h的值，就能拋物線C₂的解析式；
（3）過(guò)M作MT⊥FH于T，可證三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA，設(shè)FT=3k，TM=4k，F(xiàn)M=5k，求得FN，又由，求得k，故能求得直線m的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有求直線的解析式和拋物線關(guān)系式，三角形相似等．