Question

6．如圖，把矩形ABCD沿AC折疊，點D落在點E處，AE交BC于點F，連接BE，若BE：AC=3：5，求AB：BC的值．

Answer 1

分析 證明△ABF≌△CEF，得出AF=CF，BF=EF，證出∠FAC=∠FCA，∠FBE=∠FEB，證明△AFC∽△BFE，得出$\frac{BF}{AF}=\frac{BE}{AC}$=$\frac{3}{5}$，設BF=3x，AF=5x，由勾股定理求出AB=$\sqrt{A{F}^{2}-B{F}^{2}}$=4x，CF=AF=5x，得出BC=8x，即可得出答案．

解答 解：∵∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠D=90°，AB=CD，
由折疊的性質得：∠CEF=∠D=90°，CE=CD，
∴∠ABF=∠CEF，AB=CE，
在△ABF和△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠CEF}&{\;}\\{∠AFB=∠CFE}&{\;}\\{AB=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CEF（AAS），
∴AF=CF，BF=EF，
∴∠FAC=∠FCA，∠FBE=∠FEB，
∵∠AFC=∠BFE，
∴∠FAC=∠FBE，
∴△AFC∽△BFE，
∴$\frac{BF}{AF}=\frac{BE}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
設BF=3x，AF=5x，
則AB=$\sqrt{A{F}^{2}-B{F}^{2}}$=4x，CF=AF=5x，
∴BC=3x+5x=8x，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{4x}{8x}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質，折疊的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，綜合性較強，有一定難度．