Question

2．如圖，長方形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，2$\sqrt{3}$），點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在OA上，且AH=$\frac{1}{2}$，過點(diǎn)H且平行于y軸的HG與EB交于點(diǎn)G，現(xiàn)將長方形折疊，使頂點(diǎn)C落在HG上，并與HG上的點(diǎn)D重合，折痕為EF，且折痕交y軸于點(diǎn)F．試求：
（1）∠CEF的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）折痕EF所在直線的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)M使得S_△EFD=S_△EFM？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）若點(diǎn)P在直線EF上，當(dāng)△PFD為等腰三角形時(shí)，試問滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不必寫出解答過程）．

Answer 1

分析 （1）由條件可以求出EC=EB=1，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以求出ED=1，利用三角函數(shù)值求出∠GED的度數(shù)，從而可以求出∠CEF的度數(shù)，利用勾股定理求得DG的值，則可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)值求出CF的值，從而求出F的坐標(biāo)，設(shè)出直線EF的解析式，直接利用待定系數(shù)法求出其解析式就可以了；
（3）過D作DN⊥EF，根據(jù)△EDF≌△CEF即可求得C為滿足條件的其中一點(diǎn)，當(dāng)M在F點(diǎn)下方時(shí)，過M作MK⊥EF于點(diǎn)K，求得MK，進(jìn)而求解；
（4）如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=EB=$\frac{2}{2}$=1．
∵△FCE與△FDE關(guān)于直線EF對(duì)稱，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=$\frac{1}{2}$，
∴EG=EB-AH=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵cos∠GED=$\frac{EG}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF=$\frac{120}{2}$=60°．
在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG²=ED²-EG²=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
 DH=AB-DG=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
 OH=OA-AH=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$
故D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
（2）∵∠CEF═60°
∴CF=ECtan60°=$\sqrt{3}$
∴OF=OC-CF=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$
∴F（0，$\sqrt{3}$），E（-1，2$\sqrt{3}$）
設(shè)EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，由圖象，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=b}\\{2\sqrt{3}=-k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$   
故EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$；
（3）存在．
過D作DN⊥EF，則DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵△EDF≌△CEF，
∴C為滿足條件的其中一點(diǎn)，即M（0，2$\sqrt{3}$）．
當(dāng)M在F點(diǎn)下方時(shí)，過M作MK⊥EF于點(diǎn)K．
∵M(jìn)K=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠2=∠3=30°，
∴MF=$\sqrt{3}$，此時(shí)M和O重合，即M（0，0），
∴滿足條件的M的坐標(biāo)是（0，0）和M（0，2$\sqrt{3}$）；
（4）∵DF=CF=$\sqrt{3}$點(diǎn)P在直線EF上，
∴當(dāng)△PFD為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
（a）P₁F=DF=$\sqrt{3}$，
可令P₁（t，-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$），則：
P₁F²=3
∴由兩點(diǎn)間的距離公式為：
（t-0）²+（-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$）²=3
∴t²+3t²=3
∴t²=$\frac{3}{4}$，
∴t₁=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴P₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$）； P₃（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$）
（b） PD=DF=$\sqrt{3}$時(shí)，
仍令P（t，-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$），注意D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），則：
PD²=3
∴（t+$\frac{3}{2}$）²+（-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=3
∴t²+3t+$\frac{9}{4}$+3t²+3t+$\frac{3}{4}$=3
∴4t²+6t=0
∴t₁=0，t₂=-$\frac{3}{2}$
∵t₁=0對(duì)應(yīng)F點(diǎn)，此時(shí)不構(gòu)成三角形，故舍去．
∴P₃（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）
（c）當(dāng) PD=PF
仍令P（t，-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$），注意D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)（0，$\sqrt{3}$），則：
PD²=PF²
∴（t+$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=（t-0）²+（-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$）²，
∴t²+3t+$\frac{9}{4}$+3t²+3t+$\frac{3}{4}$=t²+3t²
∴6t+3=0
∴t=-$\frac{1}{2}$
∴P₄（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
故滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)．分別是P₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$）； P₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$），P₃（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），P₄（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用及等腰的三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)求出直線EF的解析式時(shí)關(guān)鍵．