Question

14．已知正三角形的面積是$\frac{3}{4}\sqrt{3}$cm，則正三角形外接圓的半徑是1cm．

Answer 1

分析 如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r，作AH⊥BC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BH=CH，∠BAH=30°，利用垂徑定理的推理可判斷點(diǎn)O在AH上，連結(jié)OB，則∠BOH=2∠BAO=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，BH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，則BC=2BH=$\sqrt{3}$r，然后根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（r+$\frac{1}{2}$r）•$\sqrt{3}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，再解方程即可．

解答 解：如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r，
作AH⊥BC于H，
∵△ABC為等邊三角形，AH⊥BC，
∴BH=CH，∠BAH=30°，
∴點(diǎn)O在AH上，
連結(jié)OB，則∠BOH=2∠BAO=60°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，BH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴BC=2BH=$\sqrt{3}$r，
∵正三角形的面積是$\frac{3}{4}\sqrt{3}$cm，
∴$\frac{1}{2}$AH•BC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即$\frac{1}{2}$•（r+$\frac{1}{2}$r）•$\sqrt{3}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴r=1，
即正三角形外接圓的半徑是1cm．
故答案為1．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)．