Question

20．如圖，正方形ABCD的面積為10，點E為邊BC上一動點（點E不與B、C重合），聯(lián)結AE，以CE為邊長作小正方形CEFG，點G在邊CD上．設BE=x．
（1）當△ABE的面積是$\sqrt{5}$時，求正方形CEFG的邊長；
（2）如果正方形CEFG的面積與△ABE的面積相等，求BE的長；
（3）聯(lián)結AF、DF，當△ADF是等腰三角形時，請你直接寫出x的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面積為10可知AB=$\sqrt{10}$，由三角形的面積公式可知$\frac{1}{2}AB•BE=\sqrt{5}$，從而可求得BE的長，故此可求得EC的長；
（2）設BE=x，則EC=$\sqrt{10}$-x．根據(jù)正方形CEFG的面積與△ABE的面積相等列方程求解即可；
（3）分為AD=DF、AF=FD、AF=AD三種情況畫出圖形，然后依據(jù)正方形的性質、勾股定理進行解答即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的面積為10，
∴AB=EC=$\sqrt{10}$．
∵△ABE的面積是$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}AB•BE=\sqrt{5}$，即$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×BE=\sqrt{5}$．
解得：BE=$\sqrt{2}$．
∴CE=BC-BE=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$．
∴正方形CEFG的邊長為$\sqrt{10}-\sqrt{2}$．
（2）設BE=x，則EC=$\sqrt{10}$-x．
∵正方形CEFG的面積與△ABE的面積相等，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×x$=（$\sqrt{10}-x$）²．
解得：x₁=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，x₂=2$\sqrt{10}$（舍去）．
（3）如圖1所示；AD=DF時．

由（1）可知：AB=DC=$\sqrt{10}$．
∵四邊形CEFG為正方形，
∴EC=GC．
∴BE=DG=x．
在Rt△FGD中，由勾股定理得：FG²+DG²=DF²，即$（\sqrt{10}-x）^{2}+{x}^{2}=10$．
解得：x₁=0，x₂=2$\sqrt{10}$．
∵0＜BE＜$\sqrt{10}$，
∴x₁=0，x₂=2$\sqrt{10}$不符合題意，舍去．
如圖2所示：當AF=FD時．

∵AF=DF，
∴F在AD的垂直平分線上．
∴BE=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
如圖3所示：當AF=AD時．延長GF交AB與H．

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC為正方形，
∴BE=AH=FH=x．
∴BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{10}$=$\sqrt{5}$．
綜上所述，當x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$時或x=$\sqrt{5}$△ADF是等腰三角形．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了正方形的性質、三角形的面積公式、勾股定理、線段垂直平分線的性質和判定、特殊銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．