Question

6．已知，△ABC中，AB=AC，點D，E，F分別是邊AB，AC，BC的中點，連接DF與EF．
（1）如圖1，求證：四邊形ADFE是菱形；
（2）如圖2，連接DE，若AB=5cm，BC=6cm，請直接寫出圖中所有長為3cm的線段和四邊形ADFE的面積．

Answer 1

分析 （1）求出AF⊥BC，根據直角三角形的性質求出AD=DF，根據三角形的中位線求出AD=EF，AE=DF，根據菱形的判定推出即可；
（2）根據三角形的中位線性質得出長為3cm的線段即可；求出△ABC的面積，求出S_{四邊形ADFE}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即可求出答案．

解答 （1）證明：連接AF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵D為AB中點，
∴AD=BD=DF，
∵點D，E，F分別是邊AB，AC，BC的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=AD，DF=$\frac{1}{2}$AC=AE，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∵AD=DF，
∴四邊形ADFE為菱形；

（2）解：長度為3cm的線段有DE，BF，CF，
理由是：∵點D，E，F分別是邊AB，AC，BC的中點，BC=6cm，
∴DE=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=3cm；
∵∠AFB=90°，
∴在Rt△AFB中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AF$=$\frac{1}{2}×6×4$=12（cm²），
∵D為AB的中點，E為AC的中點，
∴S_△AFD=S_△BFD=$\frac{1}{2}$S_△AFB，S_△AFE=S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△AFC，
∴S_{四邊形ADFE}=S_△AFD+S_△AFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12cm²=6cm²，
即四邊形ADFE的面積為6cm²．

點評 本題考查了勾股定理，三角形的中位線性質，菱形的判定的應用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵，注意：等底等高的三角形的面積相等，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．