Question

12．已知點(diǎn)P（x₀，y₀）和直線kx-y+b=0（由y=kx+b變形而得），則點(diǎn)P到直線kx-y+b=0的距離d可用公式d=$\frac{{|{k{x_0}-{y_0}+b}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$計(jì)算．例如：求點(diǎn)P（-2，1）到直線y=x+1的距離．解：由直線y=x+1可得x-y+1=0，k=1，b=1．則點(diǎn)P到直線y=x+1的距離為d=$\frac{{|{k{x_0}-{y_0}+b}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{|{1×（-2）-1+1}|}}{{\sqrt{1+{1^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．根據(jù)以上材料，解決下列問題：
（1）請(qǐng)求出點(diǎn)P（1，1）到直線y=3x-12的距離；
（2）已知互相平行的直線y=x-2與y=x+b之間的距離是3$\sqrt{2}$，試求b的值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)新定義求解；
（2）直線y=x-2與y=x+b之間的距離為3$\sqrt{2}$，可轉(zhuǎn)化為直線y=x-2上一點(diǎn)到直線y=x+b的距離為3$\sqrt{2}$，于是可�。�0，-2），則根據(jù)新定義，利用點(diǎn)（0，-2）到直線x-y+b=0的距離是3$\sqrt{2}$得到$\frac{|1×0-（-2）+b|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，然后解絕對(duì)值方程即可．

解答 解：（1）由直線y=3x-12得3x-y-12=0，
則k=3，b=-12，
所以點(diǎn)P（1，1）到直線y=3x-12的距離=$\frac{|3×1-1-12|}{\sqrt{1{+3}^{2}}}$=$\sqrt{10}$；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=x-2=-2，
則點(diǎn)（0，-2）到直線x-y+b=0的距離是3$\sqrt{2}$，
所以$\frac{|1×0-（-2）+b|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，
解得b=4或b=-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．對(duì)于（2），要把兩平行線的距離問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題．