Question

4．如圖所示，等腰直角△ABC中，M、N為斜邊AB上兩點，且∠MCN=45°，求證：以AM、MN、BN三邊為邊長構(gòu)成的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析 把△ACN繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的AM、MN、NB集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

解答 證明：設(shè)：AM=m，MN=n，NB=k，
如圖：作△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，MN=ND，AM=BD=m，
又∵∠DBN=45°+45°=90°，
∴n²=m²+k²．
∴以AM、MN、BN三邊為邊長構(gòu)成的三角形是直角三角形．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，難度較大，注意掌握旋下列情形常實施旋轉(zhuǎn)變換：（1）圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；（2）圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱全等三角形；（3）圖形中出現(xiàn)有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．