Question

16．如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DF∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CE∥BD交DF于點(diǎn)E，連接OE．
（1）求證：四邊形OCED是矩形；
（2）當(dāng)AB=5，AC=6時(shí)，求△BDF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）易證四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠COD=90°，進(jìn)而可證明四邊形OCED是矩形；
（2）首先證明四邊形ACFD是平行四邊形，所以可得AC=DF，再證明△BDF是直角三角形，由勾股定理可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出△BDF的周長(zhǎng)．

解答 解：
（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
又∵四邊形ABCD是，
∴AC⊥BD，
即∠COD=90°，
∴四邊形OCED是矩形；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=DC，AD∥BC，AC⊥BD，
∵AC∥DF，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∴AC=DF=6，AD=CF=5，
∴BF=BC+AD=10
∵AC∥DF，
∴∠BOC=∠BDF=90°，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}-D{F}^{2}}$=8，
∴△BDF的周長(zhǎng)=8+6+10=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判斷和性質(zhì)、矩形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，證明△BDF是直角三角形是解題的關(guān)鍵．