Question

已知：如圖，AD切⊙O于點D，ACB為⊙O的割線，AP=AD，BP、CP分別交⊙O于M、N．求證：
（1）△PCA∽△ABP；
（2）MN∥AP．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切割線定理得到AD²=AC•AB，而AP=AD，則AP²=AC•AB，利用比例性質(zhì)得

AP

AC

=

AB

AP

，加上∠CAP=∠PAB，于是根據(jù)相似三角形的判定即可得到△PCA∽△ABP；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由△PCA∽△ABP得到∠APC=∠B，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠MNP=∠B，所以∠MNP=∠APC，于是根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AD切⊙O于點D，ACB為⊙O的割線，
∴AD²=AC•AB，
∵AP=AD，
∴AP²=AC•AB，
∴

AP

AC

=

AB

AP

，
而∠CAP=∠PAB，
∴△PCA∽△ABP；
（2）∵△PCA∽△ABP，
∴∠APC=∠B，
∵∠MNP=∠B，
∴∠MNP=∠APC，
∴MN∥AP．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了切割線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．