Question

3．如圖1是一種折疊式可凋節(jié)釣魚竿支架的示意圖，AE是地插，用來將支架固定在地面上，支架AB可繞A點前后轉(zhuǎn)動，用來調(diào)節(jié)AB與地面的夾角，支架CD可繞支點C前后轉(zhuǎn)動，用來調(diào)節(jié)CD與AB的夾角，支架CD帶有伸縮調(diào)節(jié)長度的功能．
（1）若支架CD與地面垂直，釣魚竿DB與地面AF平行，AC=30cm，BC=60cm，CD=40cm，則釣魚竿BD距地面的高度為60cm；
（2）如圖2，保持（1）中支架AB與地面的夾角不變，凋節(jié)支架CD與AB的夾角，使得∠DCB=90°，若要使釣魚竿DB與地面AF仍然保持平行，則支架CD的長度應(yīng)該調(diào)節(jié)為多少？（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）由平行得：∠DBC=∠CAG，根據(jù)等角的三角函數(shù)列式，求CG的長，距離為DG可求；
（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)∠HCB=∠CDB，cos∠HCB=cos∠CDB=$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DC}$，設(shè)DH=2x，DC=3x，
由勾股定理列方程可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長DC交AF于G，
∵CD⊥BD，BD∥AF，
∴CD⊥AF，∠DBC=∠CAG，
sin∠DBC=sin∠CAG=$\frac{CD}{BC}=\frac{CG}{AC}$，
∴$\frac{40}{60}=\frac{CG}{30}$，
∴CG=20，
∴DG=40+20=60，
即釣魚竿BD距地面的高度為60cm；
故答案為：60；
（2）如圖2，過C作GH⊥BD，交BD于H，交AF于G，則GH⊥AF，
由（1）得：CH=40，BC=60，
∵∠BCD=90°，
∴∠CDB+∠DBC=90°，
∵∠HCB+∠DBC=90°，
∴∠HCB=∠CDB，
cos∠HCB=cos∠CDB=$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DC}$，
∴$\frac{40}{60}=\frac{DH}{DC}=\frac{2}{3}$，
設(shè)DH=2x，DC=3x，
由勾股定理得：（2x）²+40²=（3x）²，
x=$±8\sqrt{5}$，
∵x＞0，
∴x=8$\sqrt{5}$，
∴CD=3x=24$\sqrt{5}$，
答：支架CD的長度應(yīng)該調(diào)節(jié)為24$\sqrt{5}$cm．

點評 本題是解直角三角形的應(yīng)用問題，考查了三角函數(shù)、勾股定理、平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．