Question

11．如圖所示，二次函數(shù)y=ax²-$\frac{17}{4}$x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$），A點(diǎn)在y軸上，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．
（1）求直線AB的解析式和二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；
（3）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），是否存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分？若存在，求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+1），用含m的代數(shù)式表示出來MN，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1）（-3＜m＜0），連接BN、CM，當(dāng)四邊形BCMN為菱形時(shí)，BM與NC相互垂直平分，根據(jù)BC=MN算出m的值，從而得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再去驗(yàn)證BN是否等于BC，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-3k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+1；
把A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$）代入y=ax²-$\frac{17}{4}$x+c得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1；
（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+1），
∴MN=-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1-（-$\frac{1}{2}$m+1）=-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1=-$\frac{5}{4}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，MN取最大值，最大值為$\frac{45}{16}$；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），連接BN、CM，如圖所示．

若要BM與NC相互垂直平分，只需四邊形BCMN為菱形即可．
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（-3，$\frac{5}{2}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），
∴BC=$\frac{5}{2}$．
∵四邊形BCMN為菱形，
∴MN=-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m=BC=$\frac{5}{2}$，
解得：m₁=-2，m₂=-1．
當(dāng)m=-2時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，$\frac{9}{2}$），
∴BN=$\sqrt{（-2+3）^{2}+（\frac{9}{2}-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN≠BC，
故m=-2（舍去）；
當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，4），
∴BN=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN=BC，
∴點(diǎn)N（-1，4）符合題意．
故存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)確定點(diǎn)N的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）當(dāng)確定下來四邊形BCMN的形狀后，問題就得以解決，解決該類型題目時(shí)，首先要想到的是將BM與NC當(dāng)成對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分能判斷出四邊形是什么形狀，再根據(jù)該形狀圖形的其他性質(zhì)去解決問題．