Question

8．音樂噴泉（圖1）可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏起伏變化而變化，某種音樂噴泉形狀如拋物線，設(shè)其出水口為原點，出水口離岸邊18m，音樂變化時，拋物線的頂點在直線y=kx上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（圖2），這組拋物線的統(tǒng)一形式為y=ax²+bx．
（1）若已知k=1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，求此時a、b的值；
（2）若k=1，噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線水線最大高度是多少米？
（3）若k=2，且要求噴出的拋物線水線不能到岸邊，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點在直線y=kx上，拋物線為y=ax²+bx，k=1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，可以求得a，b的值；
（2）根據(jù)k=1，噴出的水恰好達到岸邊，拋物線的頂點在直線y=kx上，可以求得拋物線的對稱軸x的值，從而可以得到此時噴出的拋物線水線最大高度；
（3）拋物線的頂點在直線y=2x上可得b的值，根據(jù)噴出的拋物線水線不能到岸邊，而出水口離岸邊18m可知其對稱軸-$\frac{2a}$＜9，可得a的范圍．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx的頂點為（-$\frac{2a}$，-$\frac{^{2}}{4a}$），拋物線的頂點在直線y=kx上，k=1，拋物線水線最大高度達3m，
∴-$\frac{2a}$=$\frac{-^{2}}{4a}$，$\frac{-^{2}}{4a}$=3，
解得，a=-$\frac{1}{3}$，b=2，
即k=1，且噴出的拋物線水線最大高度達3m，此時a、b的值分別是-$\frac{1}{3}$，2；
（2）∵k=1，噴出的水恰好達到岸邊，出水口離岸邊18m，拋物線的頂點在直線y=kx上，
∴此時拋物線的對稱軸為x=9，y=x=9，
即此時噴出的拋物線水線最大高度是9米；
（3）∵y=ax²+bx的頂點為（-$\frac{2a}$，-$\frac{^{2}}{4a}$），拋物線的頂點在直線y=2x上，
∴-$\frac{2a}$×2=-$\frac{-^{2}}{4a}$，
解得：b=4，
∵噴出的拋物線水線不能到岸邊，出水口離岸邊18m，
∴-$\frac{2a}$＜9，即：-$\frac{4}{2a}$＜9，
解得：a＜-$\frac{2}{9}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題目給出的信息列出相應(yīng)的關(guān)系式，找出所求問題需要的條件．