Question

10．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長AB至點D，使DB=AB，連接CD，以CD為邊作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=2cm，則BE=4cm．
（3）BE與AD有何位置關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BE即可；
（3）由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BEC，證明B、D、E、C四點共圓，由圓周角定理得出∠DBE=∠DCE=90°即可．

解答 （1）證明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵DB=AB，
∴AD=2AB=4cm，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴BE=AD=4cm；
故答案為：4；
（3）解：BE⊥AD；理由如下：
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴B、D、E、C四點共圓，
∴∠DBE=∠DCE=90°，
∴BE⊥AD．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．