Question

17．如圖，B為（4，1），點A（3，m）在拋物線y=（x-1）²+1上，點P是x軸上的一個動點，點Q是拋物線對稱軸上的一個動點．則：
（1）m=5，
（2）四邊形ABPQ周長最小值為$\sqrt{61}$+$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 （1）把點A（3，m）代入y=（x-1）²+1，得到關(guān)于m的方程，解方程即可求得；
（2）由于線段AB為定長，故四邊形ABPQ周長最小值即可轉(zhuǎn)化為線段BP、PQ、QA和的最小值問題；作點A關(guān)于直線x=1的對稱點A′，點B關(guān)于x軸對稱點B′，連接A′B′，分別交直線x=1，x軸于點Q、P，則所作點Q、P即為所求．此時四邊形ABPQ周長最小，最小值為AQ+PQ+PB+AB=A′Q+QP+PB′+AB=A′B′+AB，根據(jù)軸對稱求得A′、B′的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求得AB、A′B′的長即可求得．

解答 解：（1）∵點A（3，m）在拋物線y=（x-1）²+1上，
∴m=（3-1）²+1=5．
故答案為5．
（2）由于線段AB為定長，故四邊形ABPQ周長最小值即可轉(zhuǎn)化為線段BP、PQ、QA和的最小值問題．
如圖，作點A關(guān)于直線x=1的對稱點A′，點B關(guān)于x軸對稱點B′，連接A′B′，分別交直線x=1，x軸于點Q、P，則所作點Q、P即為所求．此時四邊形ABPQ周長最小，最小值為AQ+PQ+PB+AB=A′Q+QP+PB′+AB=A′B′+AB，
∵B（4，1），A（3，5），
∴A′（-1，5），B′（4，-1），AB=$\sqrt{（4-3）^{2}+（1-5）^{2}}$=$\sqrt{17}$
∴A′B′=$\sqrt{（4+1）^{2}+（-1-5）^{2}}$=$\sqrt{61}$，
∴四邊形ABPQ周長最小值為：A′B′+AB=$\sqrt{61}$+$\sqrt{17}$．
故答案為$\sqrt{61}$+$\sqrt{17}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，軸對稱的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用等，（2）找出P、Q的位置是解題的關(guān)鍵，兩點之間線段最短是軸對稱問題的依據(jù)．