Question

17．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE=CE，連結(jié)BD、CD．
（1）判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；
（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠BED=∠AEC=90°，再判定△DBE≌△CAE，再判斷∠ADF+∠CAE=90°，
（2）先判斷出△BED≌△AEC，再得到∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°，
（3）先判斷出∠BED=∠AEC，再判斷出△BED≌△AEC，最后計(jì)算即可．

解答 解：（1）BD與AC的位置關(guān)系是：BD⊥AC，數(shù)量關(guān)系是BD=AC．
理由如下：
延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F．
∵AE⊥BC于E，
∴∠BED=∠AEC=90°．
∵AE=BE，DE=CE，
∴△DBE≌△CAE，
∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∠BDE=∠ACE．
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠ACE．
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴BD⊥AC．
（2）①∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
即∠BED=∠AEC．
∵AE=BE，DE=CE，
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∠DBE=∠CAE．
∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°，
∴BD⊥AC．
②BD與AC的數(shù)量關(guān)系是：BD=AC．
∵△ABE和△DCE是等邊三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，AE=BE，
∠DEC=∠DCE=60°，DE=CE，
∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
∴△BED≌△AEC．
∴BD=AC．
（3）∵△ABE和△DEC是等邊三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$
∴△BED≌△AEC，
∴∠BED=∠ACE，
∴∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）=60°
∴BD與AC的夾角度數(shù)為60°或120°．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，判斷垂直的方法，解本題的關(guān)鍵是判斷△DBE≌△CAE．