Question

如圖所示，在△ABC中，求證：
（1）若AD為∠BAC的平分線，則S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）設(shè)D為BC上的一點，連接AD，若S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，則AD為∠BAC的平分線．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）過A作AH⊥BC于H，過C作CE∥AB交AD延長線于E，求出AC=CE，證相似，得出比例式，再根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（2）根據(jù)三角形的面積和已知得出比例式，根據(jù)相似得出比例式，即可求出AC=CE，推出∠E=∠CAD=∠BAD，即可得出答案．

解答：（1）證明：過A作AH⊥BC于H，過C作CE∥AB交AD延長線于E，
則∠E=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠E=∠CAD，
∴AC=CE，
∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

BD

CD

=

AB

AC

，
∴S_△ABD：S_△ACD=（

1

2

×BD×AH）：（

1

2

×CD×AH）=BD：CD=AB：AC；

（2）證明：過A作AH⊥BC于H，過C作CE∥AB交AD延長線于E
∵S_△ABD：S_△ACD=（

1

2

×BD×AH）：（

1

2

×CD×AH）=BD：CD=AB：AC，
又∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

AB

CE

=

AB

AC

，
∴CE=AC，
∴∠E=∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

點評：本題考查了三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．