Question

18．已知二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，-2），與x軸交于點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)C，D（m，0）（m＞2）是x軸上一點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)E是第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，若以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的Rt△CDE與以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形BCEF為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接將A，B點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（2）分別利用當(dāng)△CDE∽△AOC時(shí)以及當(dāng)△DEC∽△AOC時(shí)，分別得出E點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)表示出F點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}-1+a+b=0\\ b=-2\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+3x-2；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，有-x²+3x-2=0，
解得，x₁=1，x₂=2，
∴OC=2．
由題意得AO=2，BO=1，CD=m-2．
當(dāng)△CDE∽△AOC時(shí)，
得$\frac{AO}{CD}$=$\frac{BO}{DE}$，
∴$\frac{2}{m-2}$=$\frac{1}{DE}$，
∴DE=$\frac{m-2}{2}$．
∵點(diǎn)E在第四象限，
∴E₁（m，$\frac{2-m}{2}$）．
當(dāng)△DEC∽△AOC時(shí)，得$\frac{AO}{ED}$=$\frac{BO}{CD}$，
∴$\frac{2}{DE}$=$\frac{1}{m-2}$．
∴DE=2m-4．
∵點(diǎn)E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（3）假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F，使得四邊形BCEF為平行四邊形，則EF=BC=1，
點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m-1，
當(dāng)點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為：（m，$\frac{2-m}{2}$）時(shí)，點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為：（m-1，$\frac{2-m}{2}$），
∵點(diǎn)F₁在拋物線的圖象上，
∴$\frac{2-m}{2}$=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
解得：m₁=$\frac{7}{2}$，m₂=2（舍去），
∴F₁（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
當(dāng)點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為：（m，4-2m）時(shí)，點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為：（m-1，4-2m），
∵點(diǎn)F₂在拋物線的圖象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，
∴解得：m₁=2（舍去），m₂=5，
∴F₂（4，-6），
∴使得四邊形BCEF為平行四邊形的點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F₁（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$），F(xiàn)₂（4，-6）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確表示出E，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．