Question

11．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD=BE，BE與CD相交于點(diǎn)O．連結(jié)OA，試判斷直線OA、BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 利用AAS證明△ADC≌△AEB，根據(jù)全等得出AE=AD，∠ABO=∠ACO，求出BD=CE，證△DBO≌△ECO，推出BO=CO，即可得出答案．

解答 解：OA⊥BC，
理由是：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ADC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠AEB}\\{∠CAD=∠BAE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AE=AD，∠ABO=∠ACO，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，
即DB=EC，
在△DBO和△ECO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOB=∠EOC}\\{∠DBO=∠ECO}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△DBO≌△ECO（AAS），
∴BO=CO，
∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，
∵AB=AC，
∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，
∴AO垂直平分BC．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出AB=AC和OB=OC．