Question

16．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3cm，以CD為邊向CD的兩旁分別作等邊△PCD和等邊△QCD．
（1）四邊形CPDQ是菱形嗎？說明理由；
（2）求PQ的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出CQ=QD=CD=PD=CP，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得出△PDQ是等腰三角形，且DC垂直平分PQ，由垂直平分線的性質(zhì)易得DE、DQ的值，進而在RT△DEQ中，由勾股定理可求得QE的值，可得答案．

解答 （1）證明：四邊形CPDQ是菱形；理由如下：
∵正方形ABCD的邊長為3cm，
∴CD=3cm，
∵△PCD和△QCD是等邊三角形，
∴CQ=QD=CD=PD=CP，
∴四邊形CPDQ是菱形；
（2）解：由（1）得：△PDQ是等腰三角形，且DC垂直平分PQ，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=1.5cm，DQ=3cm；
在Rt△DEQ中，QE=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴PQ=2QE=3$\sqrt{3}$（cm）．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，由勾股定理求出QE是解決問題（2）的關(guān)鍵．