Question

9．如圖，?ABCD的邊AD與經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的⊙O相切
（1）求證：弧AB=弧AC
（2）如圖2，延長(zhǎng)DC交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，sin∠E=$\frac{12}{13}$，求tan∠D的值

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OA交BC于F．只要證明OF⊥BC即可解決問題．
（2）如圖2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，連接AC．首先證明BE=AB=AC，$\widehat{EA}$=$\widehat{CB}$，推出∠E=∠ACE，在Rt△BEM中，sin∠E=$\frac{12}{13}$，設(shè)BE=13m，則BM=12m，EM=5m，在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E=$\frac{12}{13}$，AC=EB=13m，則CN=5m，由四邊形BMNA是平行四邊形，推出MN=AB=EB=13m，推出CM=18m，推出tan∠BCE=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{12m}{18m}$=$\frac{2}{3}$，可得tan∠D=$\frac{2}{3}$．

解答 （1）證明：連接OA交BC于F．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠CFO，
∵AD是⊙O的切線，
∴∠OAD=90°，
∴∠OFC=90°，
∴OF⊥BC，
∴OA平分$\widehat{BC}$，
即$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$．

（2）解：如圖2中，作BM⊥EC于M，AN⊥EC于N，連接AC．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠D=∠ABC=∠BCE，
∴$\widehat{EB}$=$\widehat{CA}$，
∵$\widehat{BA}$=$\widehat{AC}$，
∴$\widehat{EB}$=$\widehat{CA}$=$\widehat{BA}$，
∴BE=AB=AC，$\widehat{EA}$=$\widehat{CB}$，
∴∠E=∠ACE，
在Rt△BEM中，sin∠E=$\frac{12}{13}$，設(shè)BE=13m，則BM=12m，EM=5m，
在Rt△ANC中，sin∠ACN=sin∠E=$\frac{12}{13}$，AC=EB=13m，則CN=5m，
∵BM=CN，BM∥CN，
∴四邊形BMNA是平行四邊形，
∴MN=AB=EB=13m，
∴CM=18m，
∴tan∠BCE=$\frac{BM}{CM}$=$\frac{12m}{18m}$=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠D=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考�？碱}型．