Question

17．△ABC中，AB=AC，D、G、F分別是BC、AB、AC的中點，過G、F、D三點作⊙O．
（1）如圖1，求證：⊙O與BC相切；
（2）如圖2，若∠A=36°，BC=2，求BG的長．

Answer 1

分析 （1）連接DG，DF，OG，OF，AO，OD，根據(jù)已知條件得到△AGO≌△AFO，求得∠AOG=∠AOF，通過△ODG≌△ODF，得到∠COD=∠DOF，推出A，O，D三點共線，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DG∥AC，DF∥AB，由平行線的性質(zhì)得到∠BGD=∠BAC=36°，推出△BDM，△DGM是等腰三角形，求得BD=DM=MG=$\frac{1}{2}$BC=1，根據(jù)切割線定理得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接DG，DF，OG，OF，AO，OD，
∵AB=AB，D，G、F分別是BC，AB、AC的中點，
∴AG=AF，DG=$\frac{1}{2}$AC=DF=$\frac{1}{2}$AB，
在△AGO與△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{OG=OF}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AGO≌△AFO，
∴∠AOG=∠AOF，
在△ODG與△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OG=OF}\\{OD=OD}\\{DG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ODG≌△ODF，
∴∠COD=∠DOF，
∴∠AOC+∠DOG=$\frac{1}{2}×$360°=180°，
∴A，O，D三點共線，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴⊙O與BC相切；

（2）∵AB=AC，D、G、F分別是BC、AB、AC的中點，
∴DG∥AC，DF∥AB，
∴∠BGD=∠BAC=36°，
∵⊙O與BC相切，
∴∠BDM=∠BAC=36°，
∴△BDM，△DGM是等腰三角形，
∴BD=DM=MG=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵BD²=BM•BG，
∴1²=BG•（BG-1），
∴BG=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．