Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21．動點P從點D出發(fā)，沿線段DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動．點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動．設(shè)運動時間為t（s），當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形為等腰三角形？

Answer 1

考點：一元二次方程的應用

專題：幾何動點問題

分析：以B，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形有三種情況：當PB=PQ時，當PQ=BQ時，當BP=BQ時，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：解：如圖1，當PB=PQ時，作PE⊥BC于E，
∴EQ=

1

2

BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴EQ=8-

1

2

t，
∴EC=8-

1

2

t+t=8+

1

2

t．
∴2t=8+

1

2

t．
解得：t=

16

3

．
當PQ=BQ時，如圖2，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ=∠DEQ=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°，
∴四邊形DEQC是矩形，
∴DE=QC=t，
∴PE=t，QE=CD=12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ=

t2+144

．
16-t=

t2+144

，
解得：t=

7

2

；
當BP=PQ時，作PE⊥BC于E，
∴EQ=BE=

1

2

BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴BE=8-

1

2

t，
∴PB=

-8t+ 1 4 t2+208

．
∴16-t=

-8t+ 1 4 t2+208

．
解得：t₁=16+8

3

，t₂=16-8

3

∵0＜t≤10.5
∴t=16-8

3

．
綜上所述，t=

16

3

，

7

2

或16-8

3

時以B，P，Q三點為頂點的三角形為等腰三角形．

點評：本題考查了勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵．