Question

7．如圖，CD為△ABC的中線，且CD⊥AC，O為BC邊上一點，以O(shè)為圓心，0C為長半徑作⊙O，若⊙O與AB恰好相切于點D，則tanB=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 連接OD、DE，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，先證明DE∥AC，再利用點D為AB的中點得到點E為BC的中點，接著利用切線的性質(zhì)得OD⊥AB，然后在Rt△BOD中利用勾股定理計算出BD后根據(jù)正切的定義求解．

解答 解：連接OD、DE，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵CE為直徑，
∴∠CDE=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵DE∥AC，
∵點D為AB的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴點E為BC的中點，
∴BE=CE=2r，
∵AB為切線，
∴OD⊥AB，
在Rt△BOD中，OD=r，OB=BE+OE=3r，
∴BD=$\sqrt{（3r）^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
∴tanB=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{r}{2\sqrt{2}r}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決本題的關(guān)鍵是證明點E為BC的中點．