Question

12．在四邊形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF． 
（1）請(qǐng)判斷DE=DF嗎？說出你的理由； 
（2）若點(diǎn)G在AB上，且∠EDG=60°，是猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過角的計(jì)算得出∠C=∠DBF，結(jié)合CD=BD、CE=BF即可證出△CDE≌△BDF（SAS），由此即可得出DE=DF；
（2）連接AD，結(jié)合AC=AB、DC=DB即可證出△ABD≌△ACD（SSS），由此即可得出∠BDA=∠CDA=60°，再根據(jù)∠EDG=60°即可得出∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，由（1）可知△CDE≌△BDF，進(jìn)而得知∠CDE=∠BDF，根據(jù)角的計(jì)算即可得出∠EDG=∠FDG，結(jié)合DE=DF即可證出△DEG≌△DFG（SAS），即得出EG=FG，由相等的邊與邊之間的關(guān)系即可證出CE+BG=EG．

解答 解：（1）DE=DF．理由如下：
∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°．
又∵∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠C=∠DBF．
在△CDE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠C=∠DBF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（SAS）．
∴DE=DF．
（2）猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG．理由如下：
 連接AD，如圖所示．
 在△ABD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}$×120°=60°．
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG．
由（1）可得：△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠BDF．
∴∠BDG+∠BDF=60°，即∠FDG=60°．
∴∠EDG=∠FDG．
在△DEG和△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{ED=FD}\\{∠EDG=∠FDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DFG（SAS），
∴EG=FG．
又∵CE=BF，F(xiàn)G=BF+BG，
∴CE+BG=EG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）證出△CDE≌△BDF；（2）證出EG=FG．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．