Question

已知AB是⊙O的直徑．C是⊙O外的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD切⊙O于點(diǎn)D．CF⊥AB于F．
（1）如圖1，CF交AD于E，求證：CD=CE；
（2）如圖2，若tan∠A=2，求sin∠DCF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，先證出∠ODE+∠CDE=90°，∠A+∠AEF=90°，再證明∠CED=∠CDE，即可得出CD=CE；（2）連接OD，作OE⊥AD，AM⊥OD，由tan∠A=2，設(shè)OE=2k，AE=k，得出ED=k，AO=OD=

5

k，再根據(jù)△AOD的面積得出AM、OM，求出∠AOD=∠C，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接OD；如圖1所示：
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODE+∠CDE=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠A+∠AEF=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODE，
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠A+∠CED=∠ODE+∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．
（2）連接OD，作OE⊥AD，AM⊥OD，垂足分別為E、M；如圖2所示：
∵tan∠A=2，設(shè)OE=2k，AE=k，
則ED=k，AO=OD=

5

k；
∵

1

2

OD•AM=

1

2

AD•OE，
∴AM=

4 5

5

k，
∵∠OFC=∠ODC=90°，
∴∠C+∠FOD=180°，
∵∠AOD+∠FOD=180°，
∴∠AOD=∠C，
∴sin∠C=sin∠AOD=

AM

OA

=

4 5 5 k

5 k

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行論證或計(jì)算，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．