Question

已知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，4）的拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（-3，0）及原點(diǎn)O．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為H，平行于y軸的直線交線段AO于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)四邊形AHPQ為平行四邊形時(shí)，求∠AOP的度數(shù)；
（3）如圖2，若點(diǎn)C在拋物線上，且∠CAO=∠BAO，試探究：在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)G，使得△GOP∽△COA？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m²+3m），從而得到直線OA的解析式為y=-x，然后表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m），進(jìn)而表示出PQ=-m-（m²+3m）=-m²-4m，利用當(dāng)四邊形AHPQ為平行四邊形時(shí)，PQ=AH=4得到-m²-4m=4，從而求得m的值，進(jìn)而確定答案；
（3）設(shè)AC交y軸于點(diǎn)D，由點(diǎn)A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，從而證得△AOD≌△AOB后表示點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，3），從而確定直線AC解析式，與二次函數(shù)聯(lián)立即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得到點(diǎn)G的坐標(biāo)即可；

解答：解：（1）由題意，得

16a-4b+c=4 9a-3b+c=0 c=0

，
解得

a=1 b=3 c=0

．
∴拋物線的解析式為y=x²+3x；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m²+3m），其中-4＜m＜0
∵點(diǎn)A（-4，4），
∴直線OA的解析式為y=-x，
從而點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m）
∴PQ=-m-（m²+3m）=-m²-4m，
當(dāng)四邊形AHPQ為平行四邊形時(shí)，PQ=AH=4，
即-m²-4m=4，解得m=-2（6分）
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，-2）
∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45°+45°=90°．

（3）設(shè)AC交y軸于點(diǎn)D，由點(diǎn)A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，
∵∠CAO=∠BAO，AO=AO，
∴△AOD≌△AOB，
∴OD=OB=3，點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線AC解析式為y=px+q，則

-4p+q=4 q=3

解得p=-

1

4

，q=3，∴直線AC解析式為y=-

1

4

x+3
解方程組

y=- 1 4 x+3 y=x2+3x

，得

x1= 3 4 y1= 45 16

，

x2=-4 y2=4

(舍去)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(

3

4

，

45

16

)．
將△AOC沿x軸翻折，得到△A₁OC₁，則A₁（-4，-4），C1(

3

4

，-

45

16

)

∴O，P，A₁都在直線y=x上，取OC₁的中點(diǎn)G，則△GOP∽△C₁OA₁
∴△GOP∽△COA，此時(shí)點(diǎn)G坐標(biāo)為(

3

8

，-

45

32

)（12分）
將△GOP沿直線y=x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)G′(-

45

32

，

3

8

)
綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(

3

8

，-

45

32

)或(-

45

32

，

3

8

)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的解析式的求法．在求有關(guān)存在性的問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．